Question

在一次投掷硬币的试验中，硬币进入红盒记2分，进入黑盒记1分，未能进入上述两盒之一记0分．经过多次试验后发现，小明投100个硬币有50个进入红盒，25个进入黑盒，其余未能入盒．
（1）求小明在5次投掷试验中，恰有三次进入黑盒的概率；
（2）设小明两次投掷后得分为ξ，求ξ的分布列和期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）5次投掷中恰有三次进入黑盒可利用n次独立事件中某事件恰好发生k次的概率公式计算；
（2）由于两次投掷得分ξ的得分可取值为0，1，2，3，4，分别计算出它们取值的概率，再依据数学期望Eξ的计算公式求解即可．

解答：解（1）“进入红盒”，“进入黑盒”，“未能入盒”分别记为事件A，B，C．
则P（A）=

50

100

=

1

2

，P（B）=P（C）=

25

100

=

1

4

因每次投掷硬币为相互独立事件，故5次投掷中恰有三次进入黑盒的概率为：
P₅（3）=

C

3 5

(

1

4

)3(

3

4

)2=

45

512

（2）两次投掷得分ξ的得分可取值为0，1，2，3，4则：P（ξ=0）=P（C）P（C）=

1

16

，
P（ξ=1）=

C

1 2

P（B）P（C）=

C

1 2

1

4

×

1

4

=

1

8

，
P（ξ=2）=

C

1 2

P（A）P（C）+P（B）P（B）=2×

1

2

×

1

4

+

1

4

×

1

4

=

5

16

P（ξ=3）=P（A）P（C）=

1

4

；
P（ξ=4）=P（A）P（A）=

1

4

ξ	0	1	2	3	4
P	1 16	1 8	5 16	1 4	1 4

∴Eξ=0×

1

16

+1×

1

8

+2×

5

16

+3×

1

4

+4×

1

4

=

5

2

点评：本题考查n次独立事件中某事件恰好发生k次的概率、离散型随机变量的期望与方差求法，属于基础题．