Question

（2012•宝鸡模拟）已知点M（x_k，x_k+1）在函数f(x)=

2x

x+2

的图象上，且x_k≠0，x₁=1，数列{a_n}满足：ak=

1

xk

，(k，n∈N+)．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=7-2a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据M（x_k，x_k+1）在函数f(x)=

2x

x+2

的图象上，可得xk+1=

2xk

xk+2

，取倒数，结合ak=

1

xk

，可得数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列，由此可求数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=7-2a_n=6-n，再进行分类讨论：当n≤6时，Tn=

n(5+6-n)

2

=

n(11-n)

2

；当n＞6时，Tn=15-

(n-6)(-1+6-n)

2

=

n2-11n+60

2

，从而可求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵M（x_k，x_k+1）在函数f(x)=

2x

x+2

的图象上
∴xk+1=

2xk

xk+2

∴

1

xk+1

=

1

xk

+

1

2

∵ak=

1

xk

∴ak+1=ak+

1

2

∵x₁=1，∴a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，

1

2

为公差的等差数列
∴an=

1

2

n+

1

2

（2）若数列{b_n}满足b_n=7-2a_n=6-n
∴当n≤6时，Tn=

n(5+6-n)

2

=

n(11-n)

2

；
当n＞6时，Tn=15-

(n-6)(-1+6-n)

2

=

n2-11n+60

2

∴数列{|b_n|}的前n项和T_n=

n(11-n) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n＞6

点评：本题考查数列与函数的综合，考查等差数列的通项，考查数列的求和，解题的关键是确定数列为等差数列，从而正确运用公式．