Question

(1)已知函数f(x),x∈R满足af(x)-bf(-x)=cx+dx³,其中a、b、c、d均不为零,且|a|≠|b|,试判断f(x)的奇偶性;

(2)设f(x)的定义域关于原点对称,且x₁≠x₂,f(x₁-x₂)=,当f(p)=1时,求f(2p)的值.

Answer 1

解：(1)∵af(x)-bf(-x)=cx+dx³,                 ①

∴af(-x)-bf(x)=-cx-dx³.                           ②

①+②得a［f(x)+f(-x)］-b［f(x)+f(-x)］=0.

    又|a|≠|b|,

∴f(x)+f(-x)=0.

∴f(x)为奇函数.

(2)f(x₁-x₂)=

=-=-f(x₂-x₁).

    令x₁-x₂=x,则f(x)=-f(x).

∴f(x)为奇函数.

    又f(p)=1,

∴f(-p)=-f(p)=-1.

∴f(2p)=f［p-(-p)］

===0.