Question

设函数f(x)=clnx+

1

2

x2+bx(b，c∈R，c≠0)，且x=1为f(x)的极值点．
（I）若函数f（x）在x=2的切线平行于3x-4y+4=0，求函数f（x）的解析式；
（II）若f（x）=0恰有两解，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x-4y+4=0，可得f′（1）=0，f′（2）=

3

4

，从而可求函数f（x）的解析式；
（II）f′(x)=

x2+bx+c

x

=

x2+(-c-1)x+c

x

=

(x-1)(x-c)

x

（x＞0），分类讨论：①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0；②若0＜c＜1，则f_极大（x）=clnc-c-

c2

2

＜0，f_极小（x）=-

1

2

-c＜0；③若c≥1，则f_极小（x）=clnc-c-

c2

2

＜0，f_极大（x）=-

1

2

-c＜0，由此可确定实数c的取值范围．

解答：解：（I）求导函数，可得f′(x)=

x2+bx+c

x

∵x=1是函数f（x）的极值点，函数f（x）在x=2的切线平行于3x-4y+4=0，
∴f′（1）=0，f′（2）=

3

4

∴

1+b+c=0 4+2b+c 2 = 3 4

∴b=-

3

2

，c=

1

2

∴函数f（x）的解析式为f(x)=

1

2

lnx+

1

2

x2-

3

2

x；
（II）f′(x)=

x2+bx+c

x

=

x2+(-c-1)x+c

x

=

(x-1)(x-c)

x

（x＞0）
①若c＜0，则f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，f（x）=0恰有两解，则f（1）＜0，即

1

2

+b＜0
∴-

1

2

＜c＜0
②若0＜c＜1，则f_极大（x）=f（c）=clnc+

1

2

c2+bc，f_极小（x）=f（1）=

1

2

+b
∵b=-1-c，∴f_极大（x）=clnc-c-

c2

2

＜0，f_极小（x）=-

1

2

-c＜0
∴f（x）=0不可能有两解
③若c≥1，则f_极小（x）=clnc-c-

c2

2

＜0，f_极大（x）=-

1

2

-c＜0，∴f（x）=0只有一解
综上可知，实数c的取值范围为-

1

2

＜c＜0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论思想，解题的关键是正确分类．