Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=kx-2k+5，对任意的m∈[1，4]，总存在n∈[1，4]，使得f（m）=g（n）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法，令x=-1，y=1，可求f（0）
（2）利用赋值法，令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1），结合f（0）=-2可求
（3）设函数f（x）x∈[1，4]的值域为A，g（x），x∈[1，4]的值域为B，由题意可得A⊆B，由二次函数的性质可求A，对g（x）=kx-2k+5，x∈[1，4]，分类讨论：①当k=0时，②当k＞0，③当k＜0时，结合函数g（x）在[1，4]上单调性可求B，从而可求k的范围

解答：解：（1）令x=-1，y=1，则由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2…（2分）
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2…（5分）
（3）记f（x）=x²+x-2，x∈[1，4]，值域为A，g（x）=kx-2k+5，x∈[1，4]，值域为B，
∵对任意的m∈[1，4]，总存在n∈[1，4]使f（m）=g（n），
∴A⊆B…（7分）
又f（x）=x²+x-2的对称轴x=-

1

2

，
∴f（x）在[1，4]上单增，
∴f（x）_min=0，f（x）_max=18，
∴A=[0，18]…（8分）
又g（x）=kx-2k+5，x∈[1，4]
①当k=0时，g（x）=5，
∴B={5}不合题意；…（9分）
②当k＞0时，g（x）在[1，4]上单增，
∴B=[5-k，2k+5]，又A⊆B
∴

5-k≤0 2k+5≥18 k＞0

，
∴k≥

13

2

…（11分）
③当k＜0时，g（x）在[1，4]上单减，
∴B=[2k+5，5-k]，又A⊆B
∴

5-k≥18 2k+5≤0 k＜0

，
∴k≤-13…（13分）
所以k的取值范围为：k≤-13或k≥

13

2

．     …（14分）

点评：本题主要考查了利用赋值法求解函数的函数值、函数解析式，及二次函数与一次函数的单调性求解函数的值域，集合之间包含关系的应用，属于综合试题