题目内容
用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 （a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6） 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．
分析：先判断当Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，6个电阻的组件的总电阻最小，再分步进行证明即可．
解答：
解：设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．
当Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…（5分）
证明如下：
1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则
=
+
．
故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．
2°设3个电阻的组件（如图1）的总电阻为RAB：RAB=
+R3=
．
显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．
3°设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为RCD：
=
+
=
．
若记S1=
RiRj，S2=
RiRjRk，则S1、S2为定值．
于是RCD=
．
只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜R1，即得总电阻的阻值最小．…（15分）
4°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．
要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°，应使RCE最小；由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．
而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1．
这就说明，要证结论成立…（20分）
解：设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Ri=ai，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．…（5分）
证明如下：
1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则
| 1 |
| R |
| 1 |
| R1 |
| 1 |
| R2 |
故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．
2°设3个电阻的组件（如图1）的总电阻为RAB：RAB=
| R1R2 |
| R1+R2 |
| R1R2+R1R3+R2R3 |
| R1+R2 |
显然R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．
3°设4个电阻的组件（如图2）的总电阻为RCD：
| 1 |
| RCD |
| 1 |
| RAB |
| 1 |
| R4 |
| R1R2+R1R3+R1R4+R2R3+R2R4 |
| R1R2R4+R1R3R4+R2R3R4 |
若记S1=
 |
| 1≤i＜j≤4 |
|
| 1≤i＜j＜k≤4 |
于是RCD=
| S2-R1R2R3 |
| S1-R3R4 |
只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜R1，即得总电阻的阻值最小．…（15分）
4°对于图3，把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．
要使RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°，应使RCE最小；由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．
而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1．
这就说明，要证结论成立…（20分）
点评：本题考查学生的探究能力，考查学生分析解决问题的能力，难度较大，需要认真分析与计算．
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