Question

如图，圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4．
（1）求弦BD的长；
（2）设点P是弧BCD上的一动点（不与B，D重合）分别以PB，PD为一边作正三角形PBE、正三角形PDF，求这两个正三角形面积和的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD，在△CDB中 BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
结合cos∠BCD=-cos∠BAD 可求∠BAD，代入可求BD
（2）设∠PBD=θ，θ∈0，120°），由

PB

sin(120°-θ)

=

PD

sinθ

=

2 7

sin60°

可表示三角形的面积之和y=

28 3

3

[sin2θ+sin2(120°-θ)]
=

14 3

3

[2+sin(2θ-30°)]，结合sin(2θ-30°)∈(-

1

2

，1]可求y得范围

解答：解：（1）由余弦定理，在△ABD中，BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD=20-16cos∠BAD
在△CDB中 BD²=BC²+CD²-2BC•CDcos∠BCD=52-48cos∠BCD
∴20-16cos∠BAD=52-48cos∠BCD
∵cos∠BCD=-cos∠BAD∴64cos∠BAD=-32，cos∠BAD=-

1

2

，
∴∠BAD=120°
代入上式可得，BD2=20-16×(-

1

2

)=28
∴DB=2

7

（6分）
（2）设∠PBD=θ，θ∈0，120°）

PB

sin(120°-θ)

=

PD

sinθ

=

2 7

sin60°

y=

28 3

3

[sin2θ+sin2(120°-θ)]（8分）
=

14 3

3

[2+sin(2θ-30°)]（10分）
∵sin(2θ-30°)∈(-

1

2

，1]
∴y∈(7

3

，14

3

]（12分）

点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，二倍角公式、辅助角公式在三角函数的最值求解中的综合应用，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．属于知识的简单综合．