Question

【题目】如图所示，公园内有一块边长为的等边形状的三角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上．

（Ⅰ）设，试用表示的函数关系式；

（Ⅱ）如果是灌溉水管，为节约成本希望它最短，的位置应该在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又在哪里？请给予证明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先，利用三角形的面积是面积的一半，分别表示面积后，用表示,然后，利用余弦定理表示；（Ⅱ）根据上一问的结果，，然后通过换元，设，将问题，转化为对勾函数求最值．

试题解析：解：（Ⅰ）在中，在上，

，

，在中，由余弦定理得：

（6分）

（Ⅱ）令 ，则 则

令 ，

由对勾函数单调性可知：在上单调递减，在上单调递增．

又

∴有最小值，此时∥，且

有最大值，此时为的边或的中线上． （12分）