Question

已知函数f（x）=2^x．
（1）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；
（2）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）＞1成立，求a的取值范围；
（3）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）²]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出F（x）的解析式，用换元法把函数转化为二次函数，问题转化为二次函数在定区间上求最大值，结合函数图形，分为三类进行讨论，后归结为两类，写为分段函数的形式；
（2）用换元法转化为二次不等式，因为t∈（0，1），所以分离参数，另一边的式子的取值范围为（-∞，0），由题意得，a＜0；
（3）利用f（x）=2^x是增函数去掉不等式中的f，得关于x的二次不等式，转化二次函数在定区间上求最小值，因为对称轴不确定，求最小值分为三种情况进行讨论，把三个范围并在一起就是a的取值范围．

解答：解：（1）F（x）=2^x+a•2^2x，x∈（-∞，0]．
令2^x=t，因x∈（-∞，0]，故t∈（0，1]．
2^x+a•2^2x=at²+t（0＜t≤1）．（2分）
当a=0时，F（x）_max=1．（3分）
当a≠0时，令g（t）=at2+t=a(t+

1

2a

)2-

1

4a

(0＜t≤1)．
若a＞0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（4分）
若-

1

2

＜a＜0，t=1时g（t）取最大值，g（1）=a+1．（5分）
若a≤-

1

2

，t=-

1

2a

时g（t）取最大值，g(-

1

2a

)=-

1

4a

．（6分）
综上，F(x)max=

1+a，a＞- 1 2 - 1 4a ，a≤- 1 2 .

（7分）
（2）令2^x=t，则存在t∈（0，1）使得t²-at＞1，
即存在t∈（0，1）使得a＜t-

1

t

，∴a＜0．a的取值范围是（-∞，0）．（9分）
（3）因f（x）=2^x是单调增函数，故由f（x+1）≤f[（2x+a）²]得x+1≤（2x+a）²，
问题转化为x+1≤（2x+a）²对x∈[0，3]恒成立，（10分）
即4x²+（4a-1）x+a²-1≥0，令h（x）=4x²+（4a-1）x+a²-1，
若

1-4a

8

＜0，必需且只需h（0）≥0，此时得a≥1；（12分）
若

1-4a

8

＞3，必需且只需h（3）≥0，此时得a≤-8；（14分）
若0≤

1-4a

8

≤3，必需且只需△=（4a-1）²-16（a²-1）≤0，此时无解．
综上得a的取值范围是{a|a≤-8或a≥1}．（16分）

点评：此题考查复合函数的最值，求参数的范围，求函数最值时，用转化化归的思想化成已学的函数，一般是二次函数，再利用数形结合，分类讨论的思想求最值，（1）与（3）的区别，（1）中开口方向不定，（3）中是定的，注意（2）中的问法，存在两个字，分离参数，化归的是单调函数．考查逻辑推理，抽象概括能力，综合运用能力．