Question

任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，则f（x）称为[a，b]上的凸函数．下列函数中①y=2^x，②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

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在其定义域上为凸函数是（　　）

A．①②

B．②③

C．②③④

D．②④

Answer 1

分析：由凸函数的概念，得出凸函数的几何特征，根据几何特征可作出四个函数①y=2^x，②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

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的图象，观察图象即可得到答案．

解答：解：根据题意：任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

恒成立，f（x）称为[a，b]上的凸函数知：
在函数y=f（x）的图象上任取不同的两点A、B，线段AB（端点除外）总在f（x）图象的上方，则函数f（x）为凸函数，
分别作出四个函数的图象，如图所示．
∴观察②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

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在其定义域上的图象，满足凸函数的概念，
∴即②y=log₂x，③y=-x²，④y=x 

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是凸函数．
故选C．

点评：本题考查函数的图象，关键在于作出符合凸函数的概念的函数图象，考查数形结合的思想，属于基础题．