Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

2

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₁，a₂，a₅成等比数列，可得

a

2 2

=a1•a5，从而可求数列的公差，由此可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）裂项求和，利用bn=

2

an•an+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，（d≠0），
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，∴

a

2 2

=a1•a5（2分）
又a₁=1，∴（1+d）²=1•（1+4d），
∵d≠0，∴d=2（5分）
∴{a_n}的通项公式为a_n=2n-1（6分）
（Ⅱ）∵bn=

2

an•an+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

（9分）
∴sn=

2

1•3

+

2

3•5

+…+

2

(2n-1)(2n+1)

=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等比数列的性质，考查裂项法求数列的和，正确运用公式是关键．