Question

已知函数f(x)=ln(x-2),其中a是不等于0的常数,e为自然对数的底数.

(1)当a＞0时,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在x₀处取得极值,且x₀［e+2,e²+2］,而f(x)≥0在［e+2,e²+2］上恒成立,求实数a的取值范围.

Answer 1

解:由已知得函数f(x)=ln(x-2)的定义域为(2,+∞),f′(x)= ==［(x-1)²-(a+1)］.

(1)当a＞0时,f(x)=(x-1+)(x-1-),∵x＞2,∴x-1+＞0,a(x-2)＞0.

①当x＞1+时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.

②当2＜x＜1+时,f′(x)＞0,f(x)为增函数,

∴当a＞0时,f(x)的单调递增区间为(2,1+］,单调递减区间为［1+,+∞).

(2)由(1)知当a＜0时,f′(x)=＞0,f(x)递增无极值,

∴由已知条件f(x)在x₀处有极值知a＞0,并且x₀=1+,∵x₀［e+2,e²+2］且e+2＞2,

∴f(x)在［e+2,e²+2］上单调.

①当［e+2,e²+2］为增区间时,f(x)≥0恒成立.

则有

②当［e+2,e²+2］为减区间时,f(x)≥0恒成立.

则有

此时a.

综上所述,实数a的取值范围为a＞e⁴+2e².