Question

已知各项为正数的等比数列{a_n}（n∈N^*）的公比为q（q≠1），有如下真命题：若，则（其中n₁、n₂、p为正整数）．
（1）若，试探究与a_p、q之间有何等量关系，并给予证明；
（2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据若可知n₁+n₂=2p+1，再根据a_n的通项公式代入中，进而可得，答案可得．
（2）若是公比为q的等比数列{a_n}的任意m项，
假设时，再由（1）中结论可推断可得一真命题；
假设互素）时，同样可得一真命题．
解答：解：（1）因为，所以n₁+n₂=2p+1，又a_n=a₁q^n-1
即
（2）若是公比为q的等比数列{a_n}的任意m项，则存在以下真命题：
①若，则有成立．
②若互素），则有成立．
点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查学生根据已知结论分析问题和解决问题的能力．