Question

已知数列{a_n}满足：a₁=6，an+1=

n+2

n

an+(n+1)(n+2)．
（1）若dn=

an

n(n+1)

，求数列{d_n}的通项公式；
（2）若a_n=kC³_n+2，（其中C_n^m表示组合数），求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若bn=

an

(n+2)2

•2n+1，记数列{

1

bn

}的前n项和为T_n，求

lim

n→+∞

Tn；

Answer 1

分析：（1）表示出新数列连续两项，做差，得到差是定值，得到数列是等差数列，写出通项公式，
（2）用数列的通项和所给的组合数比较，整理后求出k的值，表示出通项，要求前n项和，写出后观察可用组合数的性质得出结果．
（3）整理构造的新数列，化简后可用裂项法求和，得到和式，求极限．

解答：解：（1）an+1=

n+2

n

an+(n+1)(n+2)
变为：

an+1

(n+2)(n+1)

=

an

n(n+1)

+1=＞dn+1-dn=1
所以{d_n}是等差数列，d1=

a1

1•2

=3，
所以d_n=3+（n-1）=n+2
（2）由（1）得a_n=n（n+1）（n+2）
a_n=kC³_n+2=k•

n(n+1)(n+2)

6

，k=6
即：a_n=n（n+1）（n+2）=6C_n+2³
所以，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=6（C₃³+C₄³+C₅³++C_n+2³）
=6C_n+3⁴
=

n(n+1)(n+2)(n+3)

4

（3）bn=

n(n+1)

n+2

•2n+1

1

bn

=

n+2

n(n+1)•2n+1

=

1

n•2n

-

1

(n+1)•2n+1

利用裂项法得：Tn=

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

++

1

bn

=

1

2

-

1

(n+1)•2n+1

∴

lim

n→+∞

Tn=

1

2

点评：有的数列可以通过递推关系式构造新数列，构造出一个我们较熟悉的数列，从而求出数列的通项公式．这是一种化归能力的体现． 数列的递推关系式往往比通项公式还重要，我们要重视数列的递推关系式，依据递推关系式的特点，选择恰当的方法，达到解决问题的目的．