Question

设{a_k}为等差数列，公差为d，a_k＞0，k=1，2，…，2n+1．
（1）证明a＞a_2n-1•a_2n+1；
（2）记b_k=，试证lg b₁+lg b₂+…+lg b_n＞lg a_2n+1-lg a₁．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲证明：a＞a_2n-1•a_2n+1先作差：a-a_2n-1•a_2n+1=[a₁+（2n-1）d]²-[a₁+（2n-2）d][a₁+2nd]最后化简得到d²＞0从而得到证明；
（2）由（1）知＞，结合放缩法即可证得，分别令n=1，2，…，n得到n个式子相乘即可证得结论．
解答：解：（1）证明：a-a_2n-1•a_2n+1
=[a₁+（2n-1）d]²-[a₁+（2n-2）d][a₁+2nd]
=a₁²+（4n-2）a₁d+（2n-1）²d²-[a₁²+（4n-2）a₁d+（4n²-4n）d²]
=d²＞0   （d＞0）
∴a_2n²＞a_2n-1•a_2n+1   …（5分）
（2）由（1）知＞
∴＞＞＞…＞…∴
∴（）²•（）²•（）²•…•（）²＞（）•（）•（）•…•=
即  b₁²•b₂²•b₃²•…•b_n²＞…（11分）
∴lgb₁+lg b₂+…+lg b_n＞lga_2n+1-lga₁ …（12分）
点评：本小题主要考查等差数列、不等式的解法、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．