Question

5．已知函数f（x）=1nx+x，g（x）=6-x．
（1）证明：函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个交点；
（2）在（1）的条件下，求该交点横坐标所在的一个区间，使这个区间的长度不超过$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）方法一：根据图象的交点即是方程的解，转化为方程的解得问题即可．方法二，构造函数，求证只有一个零点；
（2）由（1）知，该零点在区间（2，3）上，从而利用二分法确定区间．

解答 解：（1）方法一：∵f（x）=1nx+x，g（x）=6-x
当f（x）=g（x），
∴lnx+x=6-x，
即lnx=6-2x，
分别画出y=lnx和y=-2x+6的图象，如图所示，
由图象可知，有且只有一个交点，
所以lnx=6-2x只有一个解，
所以f（x）=g（x）只有一个解，
所以函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个交点；
方法二：f（x）=lnx+x，g（x）=6-x．
h（x）=f（x）-g（x）=lnx+2x-6，
函数h（x）=lnx+2x-6在其定义域（0，+∞）上是增函数，
又∵h（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0；
∴函数h（x）有且只有-个零点，
∴函数f（x）的图象与函数g（x）的图象有且仅有一个交点
（2）由（1）知，该零点在区间（2，3）上，
f（$\frac{5}{2}$）=ln$\frac{5}{2}$-1＜0，
故该零点在区间（$\frac{5}{2}$，3）上，
f（$\frac{11}{4}$）=ln$\frac{11}{4}$-$\frac{1}{2}$＞0，
f（$\frac{21}{8}$）=ln$\frac{21}{8}$-$\frac{3}{4}$＞0，
故该零点在区间（$\frac{20}{8}$，$\frac{21}{8}$）上．

点评 本题考查了函数的零点的个数的判断与二分法的应用．