Question

我们知道平面上n条直线最多可将平面分成1+

n(n+1)

2

个部分，则空间内n个平面最多可将空间分成

1

6

(n3+5n+6)

个部分．

Answer 1

分析：根据平面中的几何元素与空间中几何元素的对应关系：线对应面、面对应体，理解空间是怎么被分割的，找到关系式，再类比数列中的累加法即可得解

解答：解：假设n个平面可把空间分成f（n）部分，再加上第n+1个平面后可把空间分成f（n+1）部分，
∵第n+1个平面与前n个平面都相交，
∴第n+1个平面内有n交线，且这n条直线最多可把第n+1个平面分成1+

n(n+1)

2

部分，
又∵平面的每一部分可把它原来所在的空间分成2部分，
∴f（n+1）=f（n）+1+

n(n+1)

2

，
∴f(n+1)-f(n)=1+

n(n+1)

2

=1+

n2

2

+

n

2

，
∴f(2)-f(1)=1+

12

2

+

1

2

，
f(3)-f(2)=1+

22

2

+

2

2

，
…
f(n)-f(n-1)=1+

(n-1)2

2

+

n-1

2

，
上式相加得：f（n）-f（1）=（n-1）+

1

2

×

(n-1)n(2n-1)

6

+

1

2

×

(n-1)n

2

=

n3+5n

6

-1，
∴f(n)=

n3+5n

6

+1=

1

6

(n3+5n+6)
故答案为：

1

6

(n3+5n+6)

点评：本题考察归纳推理，需要有比较好的抽象思维，同时考察累加法的应用．属难题