Question

在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-

3

y=4相切．
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A，B两点，圆O内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求

PA

•

PB

的取值范围；
（Ⅲ）已知D，E，F是圆O上任意三点，动点M满足

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，λ=R，问点M的轨迹是否一定经过△DEF的重心（重心为三角形三条中线的交点），并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）利用圆心到直线的距离求圆的半径，可得圆的标准方程；
（II）根据圆的方程求出A、B的坐标，利用|PA|，|PO|，|PB|成等比数列可得P点的坐标满足的条件，结合P是圆内的点，求出

PA

•

PB

的取值范围；
（III）根据动点M满足

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，设DE的中点为N，利用向量运算可得

FM

=2λ

FN

，说明点M的轨迹是△DEF的中线FN所在的直线，即轨迹一定经过△DEF的重心．

解答：解：（Ⅰ）依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x-

3

y=4的距离，
即r=

4

1+3

=2，∴圆O的方程为x²+y²=4．
（Ⅱ）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，令y=0得x²=4，
∴A（-2，0），B（2，0），
设P（x，y），由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，即：

(x+2)2+y2

×

(x-2)2+y2

=x2+y2，
化简得：x²-y²=2，

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²，
∵x²-y²=2
∴

PA

•

PB

=2y²-2，
由于点P在圆O内，故

x2+y2＜4 x2-y2=2

，由此得y²＜1．
∴-2≤

PA

•

PB

=2y²-2＜0，
∴

PA

•

PB

的取值范围是[-2，0）；
（Ⅲ）设DE的中点为N，则

OD

•

OE

=2

ON

，
∴

OM

=λ

OD

+λ

OE

+（1-2λ）

OF

，λ∈R，

OM

=2λ（

ON

-

OF

）+

OF

∴

OM

-

OF

=2λ（

ON

-

OF

），
∴

FM

=2λ

FN

，
∴F，N，M三点共线，
即点M的轨迹是△DEF的中线FN所在的直线，
故点M的轨迹一定经过△DEF的重心．

点评：本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，考查了向量的数乘运算与数量积运算，考查了向量在几何中的应用，体现了数形结合思想．