题目内容
【题目】已知函数
．
（
）讨论函数
在定义域内的极值点的个数．
（
）若函数在
处取得极值，且对
，
恒成立，求实数
的取值范围．
（
）当
且
时，试比较
与
的大小．
【答案】见解析.
【解析】分析：（1）求出函数的定义域和导函数，通过讨论
的符号确定导函数的符号变化，进而得到函数的单调性和极值点的个数；（2）先利用（1）求出
，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）利用（2）结论合理赋值即可.
解析：（
）函数
的定义域为
，
．
①当
时，
在上恒成立，在上单调递减，
∴在上没有极值点．
②当
时，令
得
，
令得
，
∴在
上单调递减，在
上单调递增，
∴在
处有极小值，
；
综上所述，当时，在上没有极值点，
当时，在上有一个极值点．
（
）∵函数在
处有极值，
∴由（）可知
，解得：，
∴
，
对
，
恒成立，等价于，
恒成立，
则
，
令
，则
，
令
，解得
，令
，解得
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处取得最小值，
，
∴
，
故实数
的取值范围是
．
（
）由（）知在上为减函数，
∴
且
时，有
，
即
，整理得
①，
当
时，
，由①得，
；
当
时，
，由①得，
．
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