Question

（2013•宁波模拟）设数列{a_n}满足：a₁=a₂=1，a₃=2，且对于任意正整数n都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=

4025

．

Answer 1

分析：由a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，可求a₄，a₅，a₆，由以上可发现数列{a_n}是以4为周期的数列，进而可求数列的和

解答：解：a₁=a₂=1，a₃=2，
又∵a_na_n+1a_n+2≠1，且a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，
则an+3=

an+an+1+an+2

an•an+1•an+2-1

∴a₄=

1+1+2

2-1

=4
a₅=

1+2+4

1×2×4-1

=1
a₆=

2+4+1

1×2×4-1

=1
a7=

4+1+1

4×1×1-1

=2
a₈=

1+1+2

1×1×2-1

=4
由以上可发现数列{a_n}是以4为周期的数列
则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=503（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₁
=503×8+1=4025
故答案为：4025

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的和，解题的关键是由递推公式求出数列的前几项，进而发现数列的周期性的规律