Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=

k

2

+f（x）恒成立．现有两个函数：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log₂x，则函数f（x）、g（x）与集合M的关系为

f（x）∉M，g（x）∈M

．

Answer 1

分析：（1）假设g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=

k

2

+g（x）得出k=

ax

ax- 1 2

，k的取值与x有关，不是常数，与假设矛盾，从而得出结论；（2）由于当log₂（kx）=

k

2

+log₂x成立时，等价于log₂k=

k

2

，此式显然当k=4时此式成立，可见，存在非零常数k=4，使g（kx）=

k

2

+g（x），从而得出答案．

解答：解：（1）假设g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=

k

2

+g（x）
⇒a（kx）+b=

k

2

+（ax+b）
⇒k=

ax

ax- 1 2

⇒k的取值与x有关，不是常数，与假设矛盾
⇒g（x）不属于集合M

（2）log₂（kx）=

k

2

+log₂x
⇒log₂k+log₂x=

k

2

+log₂x
⇒log₂k=

k

2

，
当k=4时此式成立，
可见，存在非零常数k=4，使g（kx）=

k

2

+g（x）
∴g（x）∈M，
故答案为：f（x）∉M，g（x）∈M．

点评：本小题主要考查元素与集合关系的判断、对数的运算法则、对数函数的性质、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．