Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx+cos2x+a（a为常数）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并指出其单调减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，

π

2

]上恰有两个x的值满足f（x）=2，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求出函数f（x）的最小正周期，通过正弦函数的单调减区间求出函数的单调减区间；
（Ⅱ）通过函数f（x）在[0，

π

2

]上恰有两个x的值满足f（x）=2，通过换元法，利用

g( π 6 )≤2 g( π 2 )＞2

，试求实数a的取值范围．

解答：（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+a，
∴最小正周期T=

2π

2

=π，
单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）令u=2x+

π

6

，则g(u)=sinu+

1

2

+a，u∈[

π

6

，

7π

6

]．
要使g（u）在[

π

6

，

7π

6

]上恰有两个x的值满足g（u）=2，
则

g( π 6 )≤2 g( π 2 )＞2

，解得 

1

2

＜a≤1．

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式与两角和的正弦函数的应用，函数的基本性质，考查计算能力．