Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在点P，使得|

PF1

+

PF2

|=|

F1F2

|成立，则离心率的取值范围为______．

Answer 1

设

PF 1

，

PF 2

，

F 1F 2

的模分别为m，n，2c，椭圆的长轴长为2a，∠F₁PF₂=θ
则由题中条件可知，（两边平方），
m²+n²+2mncosθ=4c²，2mncosθ=4c²-m²-n²；
又在△F₁PF₂中，由余弦定理得，
2mncosθ=m²+n²-4c²，
∴m²+n²-4c²=0
4c²=m²+n²≥

1

2

（m+n）²=2a²，即2c²≥a²
∴（

c

a

）²≥1/2，离心率e=

c

a

≥

2

2

，
又0＜e＜1，
∴

2

2

≤e＜1．
故答案为：[

2

2

，1)