Question

1．设两个向量$\overrightarrow a$=（λ+2，λ²-cos²α），$\overrightarrow b$=（m，$\frac{m}{2}$+sinα），其中λ，m，α为实数．若$\overrightarrow a$=$2\overrightarrow b$，则m的取值范围是[$\frac{1}{4}，2}$]．

Answer 1

分析 根据条件$\overrightarrow a$=$2\overrightarrow b$，建立方程关系，消去参数λ，结合三角函数的有界性，转化为一元二次不等式进行求解．

解答 解：∵$\overrightarrow a$=$2\overrightarrow b$，
∴（λ+2，λ²-cos²α）=2（m，$\frac{m}{2}$+sinα），
即$\left\{\begin{array}{l}{λ+2=2m}\\{{λ}^{2}-co{s}^{2}α=m+2sinα}\end{array}\right.$
消去参数λ得（2m-2）²=cos²α+m+2sinα，
即4m²-9m+2=-（sinα-1）²，
∵-4≤-（sinα-1）²≤0，
∴-4≤4m²-9m+2≤0，
即$\left\{\begin{array}{l}{4{m}^{2}-9m+6≥0}\\{4{m}^{2}-9m+2≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m∈R}\\{\frac{1}{4}≤m≤2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$≤m≤2，
故答案为：[$\frac{1}{4}，2}$]

点评 本题主要考查平面向量的应用以及三角函数的化简和一元二次不等式的求解，综合性较强，运算量较大．