Question

如图是三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）设AB₁垂直于BC₁，且BC=2，求点C到平面DBC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）利用线线平行证明线面平行即可；
（2）先作出直线AB₁在平面BCC₁B₁内的射影，利用平面几何知识求出BB₁的长，再利用三棱锥的换底性，用等体积法求解即可．

解答：解：（1）证明：几何体的直观图，如图，

连接BC₁和B₁C，交点为O，则O为B₁C的中点，连接OD，
∵D为中点，∴OD∥AB₁，
又AB₁?平面BDC₁，OD?平面ABC₁，
∴AB₁∥平面BDC₁．
（2）过D作DG⊥BC，垂足为G，连接GO，
∵侧面垂直于底面，∴DG⊥侧面BCC₁B₁，
∴OD在侧面BCC₁B₁内的射影为GO，
∵BC=2，△ABC为等边三角形，∴DG=

3

2

，
连接B₁F，则B₁F为AB₁在侧面BCC₁B₁内的射影，
∵AB₁⊥BC₁，由三垂线逆定理得B₁F⊥BC₁，如图：
设BB₁=x，∵∠FB₁B=∠BC₁B₁，∴

1

x

=

x

2

，∴BB₁=

2

，
S△CBC1=

1

2

×2×

2

，
∵BD=

3

，DC₁=

3

，BC₁=

6

，∴BD⊥DC₁，
∴S△DBC1=

1

2

×

3

×

3

用等体积法VC-DBC1=VD-CBC1⇒h=

SCBC1DG

SDBC1

=

6

3

．

点评：本题考查线面平行的判定，点到平面距离的求法．等体积法求点到面的距离的常用方法．