Question

以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示：
①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数；
②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的倍；
③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润．
（I）分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格；
（II）问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少．

Answer 1

解：（I）设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx+b（k＜0），
则旺季的最高价格为-元/件，利润函
L（x）=（x-100）•（kx+b）=kx²-（100k-b）-100b，x∈[100，-]，
当x==50-时，L（x）最大，由题意知，50-=140，解得-=180，
即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是180×=120（元/件）．
（II）现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mt+n（m＜0），
则淡季的最高价格为-=120（元/件），即n=-120m，
利润函数L（t）=（t-100）•（mt+n）=（t-100）•（mt-120m）
=-m（t-100）•（120-t），t∈[100，120]．
∴t-100=120-t，即t=110时，L（t）为最大，
∴在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．
分析：（I）设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx+b（k＜0），则旺季的最高价格为-元/件，从而求出利润函，利用二次函数在闭区间[100，-]上求出最值即可求出所求；
（II）现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mt+n（m＜0），则淡季的最高价格为-=120（元/件），得m与n的关系，从而得到利润函数L（t），求出最大值即可．
点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，属于中档题．