题目内容
已知函数f(x)=[2sin(x+
)+sinx]cosx-
sin2x，x∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，
]，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
| π |
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，
| 5π |
| 12 |
分析：将函数解析式括号中第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，去括号后利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，
（Ⅰ）由正弦函数的递增区间，即可求出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值，即可得到m的取值范围．
（Ⅰ）由正弦函数的递增区间，即可求出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出f（x）的最大值，即可得到m的取值范围．
解答：解：f（x）=（sinx+
cosx+sinx）cosx--
sin2x
=2sinxcosx+
cos2x-
sin2x
=sin2x+
cos2x
=2sin（2x+
），
（Ⅰ）令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，解得：kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，
]，∴2x+
∈[
，
]，
∴-
≤sin（2x+
）≤1，即-1≤2sin（2x+
）≤2，
∴-1≤f（x）≤2，即f（x）的最大值为2，
∵不等式f（x）＜m恒成立，
则m＞2．
| 3 |
| 3 |
=2sinxcosx+
| 3 |
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 3 |
（Ⅰ）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
则函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（Ⅱ）∵x∈[0，
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
∴-
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴-1≤f（x）≤2，即f（x）的最大值为2，
∵不等式f（x）＜m恒成立，
则m＞2．
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以及不等式恒成立满足的条件，熟练掌握公式是解本题的关键．
练习册系列答案
名师金手指领衔课时系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
|
A、(
| ||||
B、（
| ||||
C、（
| ||||
D、[
|