Question

已知动直线l：（m+3）x-（m+2）y+m=0与圆C：（x-3）²+（y-4）²=9
（1）求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．
（2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？并求出该最小值．

Answer 1

分析：（1）方法一：设圆心C（3，4）到动直线l的距离为d，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，只要证明d＜r即可；
方法二　直线l变形为m（x-y+1）+（3x-2y）=0．利用直线系过定点，若定点在圆的内部即可；
（2）利用垂径定理和弦长公式即可得出．

解答：（1）证明：方法一：设圆心C（3，4）到动直线l的距离为d，则
d=

|(m+3)•3-(m+2)•4+m|

(m+3)2+(m+2)2

=

1

2(m+ 5 2 )2+ 1 2

≤

2

．
∴当m=-

5

2

时，d_max=

2

＜3=r．
故动直线l总与圆C相交．
方法二　直线l变形为m（x-y+1）+（3x-2y）=0．
令

x-y+1=0 3x-2y=0

解得

x=2 y=3

如图所示，故动直线l恒过定点A（2，3）．
而AC=

(2-3)2+(3-4)2

=

2

＜3（半径）．
∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．
（2）解：由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小．
∴最小值为2

32-( 2 )2

=2

7

．

点评：本题综合考查了直线与圆相交问题转化为点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d＜r或利用直线系过定点且定点在圆的内部垂径定理、弦长公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．