Question

【题目】奇函数f（x）定义域为（﹣π，0）∪（0，π），其导函数是f′（x）．当0＜x＜π时，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，则关于x的不等式f（x）＜ f（ ）sinx的解集为（ ）
A.（ ，π）
B.（﹣π，﹣ ）∪（ ，π）
C.（﹣ ，0）∪（0， ）
D.（﹣ ，0）∪（ ，π）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设g（x）= ，
∴g′（x）= ，
∵f（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（﹣x）= = =g（x）
∴g（x）是定义在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函数．
∵当0＜x＜π时，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上单调递减，
∴g（x）在（﹣π，0）上单调递增．
∵f（ ）=0，
∴g（ ）= =0，
∵f（x）＜ f（ ）sinx，即g（ ）＞g（x）；
①当sinx＞0时，即x∈（0，π），所以x∈（ ，π）；
②当sinx＜0时，即x∈（﹣π，0）时，g（ ）=g（﹣ ）＜g（x）；
所以x∈（﹣ ，0）；
即不等式f（x）＜ f（ ）sinx的解集为解集为（﹣ ，0）∪（ ，π），
故选：D
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．