Question

（2013•上海）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1-

3

x

）元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

Answer 1

分析：（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；
（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．

解答：解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1-

3

x

）×2=200（5x+1-

3

x

）
根据题意，200（5x+1-

3

x

）≥3000，即5x²-14x-3≥0
∴x≥3或x≤-

1

5

∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；
（2）设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1-

3

x

）×

900

x

=90000（-

3

x2

+

1

x

+5）=9×10⁴[-3(

1

x

-

1

6

)2+

61

12

]
∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为9×104×

61

12

=457500元
故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．

点评：本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．