Question

设函数f（x）=，给定数列{a_n}，其中a₁=a，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）若{a_n}为常数数列，求a的值；
（2）当a≠0时，探究{+2}能否是等比数列？若是，求出{a_n}的通项公式；若不是，说明理由；
（3）设b_n=3na_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当a=1时，求证：S_n＞4-（n+2）（）^n-1．

Answer 1

解：（1）若{a_n}为常数数列，则a_n=a，由a_n+1=f（a_n），得a=f（a），（1分）
f（x）=，∴，即a=2a（a+1）解得：a=0或．
（2）∵f（x）=，∴a_n+1=f（a_n）=，
当a₁=a≠0时，a_n≠0，
∴，
∴，
∴+2=+2，…（6分）
∴①当a=-时，由（1）知，∴不是等比数列．…（7分）
②当时，，∴是以2为公比，以为首项的等比数列，…（8分）
∴，∴ …（9分）
（3）当a=1时，，…（10分）
∴
∴…（11分）
设①
则，②
由①-②得：
=
∴，（13分），
所以…（14分）
分析：（1）由于a₁=a，{a_n}为常数数列，得知a=f（a），将其代入f（x）=，从而求出a的值；
（2）根据a_n+1=f（a_n）取倒数化简得，再考虑首项是否为0分类讨论，它是否是等比数列．
（3）根据（2）得a=1时，它是等比数列，从而求出a_n的通项公式，并放缩，得，
∴，令右式=T_n，再用错位相减法化简右式得T_n=，从而得证．
点评：此题考查等比数列的判断，关键在于其首项是否为0，比值是否为常数．同时还考查了放缩法及数列求和的错位相减法．