Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A，B两点，其中点A在第一象限．
（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；
（Ⅱ）若

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，

λ1

λ2

∈[

1

4

，

1

2

]，求λ₂的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知F(

p

2

，0)，设A（x₁，y₁），则y₁²=2px，圆心(

2x1+p

4

，

y1

2

)，然后分别求出圆心到y轴的距离和圆半径，由此能够证明以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（Ⅱ）设设P（0，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，得(x1-

p

2

，y1)=λ1(-x1，y0-y1)，(

p

2

-x2，-y2)=λ2(x1-

p

2

，y1)，所以y₂²=λ₂²y₁²，x₂=λ₂²x₁，代入

p

2

-x2=λ2(x1-

p

2

)，得x1=

p

2λ2

，代入x1-

p

2

=-λ1x1，

1

λ2

=1-

λ1

x2

，再由

λ1

λ2

∈[

1

4

，

1

2

]，能求出λ₂的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题设知F(

p

2

，0)，设A（x₁，y₁），则y₁²=2px，
圆心(

2x1+p

4

，

y1

2

)，
圆心到y轴的距离是

2x1+p

4

，
圆半径为

|FA|

2

=

1

2

×|x1-(-

p

2

)|=

2x1+p

4

，
∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．
（Ⅱ）设P（0，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

FA

=λ1

AP

，

BF

=λ2

FA

，
得(x1-

p

2

，y1)=λ1(-x1，y0-y1)，(

p

2

-x2，-y2)=λ2(x1-

p

2

，y1)，
∴x1-

p

2

=-λ1x1，y₁=λ₁（y₀-y₁），

p

2

-x2=λ2(x1-

p

2

)，y₂=-λ₂y₁，
∴y₂²=λ₂²y₁²，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂．
∴x₂=λ₂²x₁，
代入

p

2

-x2=λ2(x1-

p

2

)，
得

p

2

-λ22x1=λ2(x1-

p

2

)，

p

2

(1+λ2)=x1λ2(1+λ2)，
整理，得x1=

p

2λ2

，
代入x1-

p

2

=-λ1x1，得

p

2λ2

-

p

2

=

λ 1p

2λ2

，
∴

1

λ2

=1-

λ1

λ2

，
∵

λ1

λ2

∈[

1

4

，

1

2

]，
∴λ₂的取值范围[

4

3

，2]．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．