Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为

2

2

，过点B（0，-2）及左焦点F₁的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F₂．
（1）求椭圆的方程；
（2）求△CDF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a、b、c的方程，解出a=

2

，b=c=1，从而得到椭圆的方程；
（2）求出F₁B直线的斜率得直线F₁B的方程为y=-2x-2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x₁-x₂|=

2 2

9

，结合弦长公式可得|CD|=

10

9

2

，最后利用点到直线的距离公式求出F₂到直线BF₁的距离d，即可得到△CDF₂的面积．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为

2

2

，
∴b=

a2-c2

=1，且

c

a

=

2

2

，解之得a=

2

，c=1
可得椭圆的方程为

x2

2

+y2=1； …（4分）
（2）∵左焦点F₁（-1，0），B（0，-2），得F₁B直线的斜率为-2
∴直线F₁B的方程为y=-2x-2
由

y=-2x-2 x2 2 +y2=1

，化简得9x²+16x+6=0．
∵△=16²-4×9×6=40＞0，
∴直线与椭圆有两个公共点，设为C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则

x1+x2=- 16 9 x1•x2= 2 3

∴|CD|=

1+(-2)2

|x₁-x₂|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

(- 16 9 )2-4× 2 3

 =

10

9

2

又∵点F₂到直线BF₁的距离d=

|-2-2|

5

=

4 5

5

，
∴△CDF₂的面积为S=

1

2

|CD|×d=

1

2

×

10

9

2

×

4 5

5

=

4 10

9

．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．