Question

已知函数f（x）=，若对于任意的x∈N^*，f（x）≥3恒成立，则a 的最小值等于

1. A.
   
2. B.
   -3
3. C.
   
4. D.
   -6

Answer 1

A
分析：f（x）=≥3恒成立，即x²+ax+11≥3x+3恒成立，再分离参数求最值，即可得到结论．
解答：∵x∈N^*，
∴f（x）=≥3恒成立，即x²+ax+11≥3x+3恒成立，
∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，
∴a≥--x+3恒成立，
令g（x）=--x+3（x∈N^*），∴a≥g（x）_max，
再令h（x）=x+（x∈N^*），
∵h（x）=x+在（0，2]上单调递减，在[2，+∞）上单调递增，而x∈N^*，
∴h（x）在x取距离2较近的整数值时达到最小，而距离2较近的整数为2和3，
∵h（2）=6，h（3）=，h（2）＞h（3），
∴当x∈N^*时，h（x）_min=．又g（x）=--x+3=-h（x）+3，
∴g（x）_max=-+3=-．
∴a≥-．
故选A．
点评：本题考查函数恒成立问题，考查转化思想，构造函数的思想，考查函数的单调性的应用，综合性强，属于中档题．