Question

多项式（1-2x）⁶（1+x）⁴展开式中，x最高次项为

 

，x³系数为

 

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出多项式的通项，令x的指数最大求出x的最高次项，令x的指数为3求出x³系数．

解答：解：（1-2x）⁶的展开式的通项为T_r+1=C₆^r（-2x）^r
（1+x）⁴的展开式的通项为T_k+1=C₄^kx^k
∴（1-2x）⁶（1+x）⁴的展开式的通项为（-2）^rC₆^rC₄^kx^k+r其中r=0，1，2，3，4，5，6；k=0，1，2，3，4
∴当r=6，k=4时（1-2x）⁶（1+x）⁴的展开式有x的最高次项为（-2）⁶x¹⁰=64x¹⁰
令r+k=3得

r=0 k=3

，

r=1 k=2

，

r=2 k=1

，

r=3 k=0

∴（1-2x）⁶（1+x）⁴的展开式的x³系数为C₆⁰C₄³-2C₆¹C₄²+4C₆²C₄¹-8C₆³C₄⁰=12
故答案为64x¹⁰；12

点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．