Question

（本小题满分13分）

设函数，其中，且a≠0.

（Ⅰ）当a=2时，求函数在区间[1，e]上的最小值；

（Ⅱ）求函数的单调区间。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）－1（Ⅱ）当a＜0时，函数区间（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意。 1分

令。        2分

当x变化时，的变化情况如表：

x	1	（1，2）	2	（2，e）	e
		+	0	－
	－1	↗	极大值	↘	2－e

即函数在（1，2）上单调递增，在（2，e）上单调递减。    4分

因为，

所以当x=1时，在区间[1，e]上有最小值－1。  5分

（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞）。 6分

求导，得。    7分

当a＜0时，

由x＞0，得。

所以在区间（0，+∞）上单调递减；  9分

当a＞0时，

令＝0，得x=a。      10分

当x变化时，与的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
	+	0	－
	↗	极大值	↘

即函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减。

综上，当a＜0时，函数区间（0，+∞）上单调递减；

当a＞0时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减。   13分

考点：函数导数求极值最值单调区间

点评：函数的最值出现在闭区间的端点处或极值点处，因此只需求出端点处函数值极值后比较大小得最值，在求单调区间时要注意函数的定义域，第二问中因为定义域，因此要对参数a分情况讨论