Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁到平面ACB₁的距离为（　　）

• A．

  3

  3

  a
• B．

  2 3

  3

  a
• C．

  2

  a
• D．

  2

  2

  a

Answer 1

分析：先证明BD₁⊥平面AB₁C，再计算BO的长，即可求得D₁到平面ACB₁的距离．

解答：解：连接BD₁，BD，则AC⊥BD，AC⊥B₁B
∵BD∩B₁B=B，∴AC⊥平面BD₁，
∵BD₁?平面BD₁，∴AC⊥BD₁，
同理AB₁⊥BD₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面AB₁C
设垂足为O，在三棱锥B₁-ABC中，

1

3

×

1

2

a×a×a=

1

3

×

3

4

×2a2×BO
∴BO=

3

3

a
∵BD₁=

3

a
∴D₁O=

2 3

3

a
即D₁到平面ACB₁的距离为

2 3

3

a
故选B．

点评：本题考查点到面的距离的计算，考查线面垂直的证明与三棱锥的体积，属于中档题．