Question

函数f(x)=

log2x-1

log2x+1

，若f（x₁）+f（2x₂）=1（其中x₁，x₂均大于2），则f（x₁x₂）的最小值为

 

．

Answer 1

分析：设x₁=a，x₂=b，其中a、b均大于2，f（x）=1-

2

log2x+1

，f（a）+f（2b）=2-2（

1

log22a

+

1

log24b

）=1，所以能够推导出log₂2a+log₂4b≥8，所以log₂ab≥5，由此知f（ab）=1-

2

log2ab+1

≥

2

3

．故f（x₁x₂）的最小值为

2

3

．

解答：解：设x₁=a，x₂=b，其中a、b均大于2，
∵函数f(x)=

log2x-1

log2x+1

，若f（a）+f（2b）=1，其中a＞2，b＞2．
f（x）=1-

2

log2x+1

，
f（a）+f（2b）=2-2（

1

log22a

+

1

log24b

）=1．
∴

1

log22a

+

1

log24b

=

1

2

．
由（log₂2a+log₂4b）（

1

log22a

+

1

log24b

）≥4得
log₂2a+log₂4b≥8，
∴log₂ab≥5，
而f（ab）=1-

2

log2ab+1

≥

2

3

．（等号当且仅当a=2b时成立）．
∴f（x₁x₂）的最小值为

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．