Question

已知函数f(x)=(x2-x-

1

a

)eax（a＞0且a为常数）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f(x)+

3

a

≥0对x∈[-

3

a

，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意把a代入解析式使解析式具体，在对函数f（x）利用导数法则求其导函数，令导函数大于0，求出函数的增区间，令导函数小于0求出函数的减区间；
（II）由题意，此问题属于函数的恒成立问题，转化为函数在定义域内求最值，在令最小值还大于等于0即可．

解答：解：对函数f（x）求导得：f′（x）=e^ax（ax+2）（x-1）
（Ⅰ）当a=2时，f′（x）=e^2x（2x+2）（x-1）
令f′（x）＞0解得x＞1或x＜-1；
令f′（x）＜0解得-1＜x＜1；
所以，f（x）单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
f（x）单调减区间为（-1，1）
（Ⅱ）令f′（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，
解得x=-

2

a

或x=1
由a＞0时，得：当x∈（-∞，-

2

a

）时，f^′（x）＞0，函数f（x）此区间单调递增；
当x∈(-

2

a

，1)时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f^′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增，

∵f（-

3

a

）＞0，f（1）＜0，所以，函数在x=1时取得最小值f(1)=-

1

a

ea＜0
所以，当x∈R时，f(x)min=f(1)=-

1

a

ea，
由题意，不等式f(x)+

3

a

≥0对x∈R恒成立，
所以得-

1

a

ea+

3

a

≥0，解得0＜a≤ln3．

点评：（I）此题考查了利用导函数求其定义域下的单调区间；
（II）此题考查了函数在x∈R下恒成立为题可以等价的转化为函数在定义域下最小值还大于等于0成立，此处等价转化的思想在高考中常用．