Question

2．设△ABC的角A、B、C的对边长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面上的一点，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{c}{b}$$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$+$\frac{b-c}{b}$$\overrightarrow{PA}$²=$\frac{c}{a}$$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\frac{a-c}{a}$$\overrightarrow{PB}$²，则点P是△ABC的（　　）

• A． 重心
• B． 外心
• C． 内心
• D． 垂心

Answer 1

分析 利用向量的减法及数量积公式，确定AP是∠BAC的平分线，BP是∠ABC的平分线，即可得出结论．

解答 解：因为$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{c}{b}$$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PC}$+$\frac{b-c}{b}$$\overrightarrow{PA}$²=$\frac{c}{a}$$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\frac{a-c}{a}$$\overrightarrow{PB}$²，
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$²=$\frac{c}{b}$$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PA}$），$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PB}$²=$\frac{c}{a}$$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PB}$），
所以$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{c}{b}$$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{c}{a}$$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{BC}$，
所以|$\overrightarrow{PA}$|c•cos∠PAB=$\frac{c}{b}$|$\overrightarrow{PA}$|bcos∠PAC，|$\overrightarrow{PB}$|c•cos∠PBA=$\frac{c}{a}$|$\overrightarrow{PB}$|acos∠PBC
所以∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，
所以AP是∠BAC的平分线，BP是∠ABC的平分线，
所以点P是△ABC的内心，
故选：C．

点评 本题考查向量知识的运用，考查数量积公式，考查三角形的内心，属于中档题．