Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，
PA=

2

，E为边BC上异于B、C的点，且PE⊥ED．
（1）求EC的长；
（2）求二面角E-PD-A的大小．

Answer 1

分析：（1）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，则PA⊥DE，由于PE⊥ED，故DE⊥面PAE，故DE⊥AE．在底面的平行四边形ABCD 中，令BE=x，则AE²=1+x²-x，根据AD²=AE²+DE²可知EC的长；
（2）过点E作EM⊥AD于M，过M作MN⊥PD于N，连接EN，则易知ENM为所求二面角的平面角，过点C作CQ⊥AD于Q，从而可求．

解答：解：（1）在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，则PA⊥DE
若PE⊥ED，则DE和面PAE内相交的两直线均垂直
∴DE⊥面PAE，故DE⊥AE．
在底面的平行四边形ABCD 中，令BE=x
在△ABC中，∠ABC=60°．
于是AE²=1+x²-x
在Rt△AED中，由AD²=AE²+DE²可知：x=1或x=2
依题意x=1，于是有EC=1
（2）过点E作EM⊥AD于M，过M作MN⊥PD于N，连接EN
∵PA⊥底面ABCD
∴面PAD⊥底面ABCD
又EM⊥AD，
∴EM⊥面PAD
由三垂线定理知：∠ENM为所求二面角的平面角
过点C作CQ⊥AD于Q
易知EM=CQ=

3

2

，DQ=

1

2

∴DM=

3

2

∴MN=

PA•DM

PD

=

3

2

在Rt△EMN中
∵MN=EM=

3

2

∴∠ENM=45°
故所求二面角的大小为45°

点评：本题以四棱锥为载体，考查线面垂足，考查面面角，有一定的综合性．