Question

如图，S是正方形ABCD所在平面外一点，且SD⊥面ABCD，AB=1，SB=

3

．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC．由SD⊥底面ABCD，知SD⊥BC，由此能够证明BC⊥SC．
（2）由SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，可把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，由此能求出面ASD与面BSC所成的二面角．

解答：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥DC．
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC；
（2）解：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可把四棱锥S-ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S-ABCD，
如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC∥A₁S，∴SC⊥A₁S，
又SD⊥A₁S，∴∠CSD为所求二面角的平面角．
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=

2

，
在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1．
∴∠CSD=45°，即面ASD与面BSC所成的二面角为45°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．