Question

设f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在x=-1处有极值，求a；
（Ⅱ）若f（x）在[-3，-1]上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函数的定义域为（-∞，1），求导函数，利用f（x）在x=-1处有极值，可得f′（-1）=0，即可求得a的值；
（Ⅱ）根据f（x）在[-3，-1]上为增函数，可得f′(x)=2ax-

2

1-x

≥0在[-3，-1]上恒成立，分离参数，求函数的最值，即可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）函数的定义域为（-∞，1），求导函数可得f′(x)=2ax-

2

1-x

∵f（x）在x=-1处有极值，
∴f′（-1）=-2a-1=0
∴a=-

1

2

；
（Ⅱ）∵f（x）在[-3，-1]上为增函数，
∴f′(x)=2ax-

2

1-x

≥0在[-3，-1]上恒成立
∴a≤

1

-x2+x

∵x∈[-3，-1]，-x2+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

，∴-x2+x=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤-2
∴

1

-x2+x

的最小值为-

1

2

∴a≤-

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．