Question

已知函数f(x)=2msin2x-2

3

msinx•cosx+n的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-5，4]．试求函数g（x）=msinx+2ncosx（x∈R）的最小正周期和最值．

Answer 1

f(x)=-

3

msin2x-mcos2x+m+n=-2msin(2x+

π

6

)+m+nx∈[0，

π

2

]
?2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]?sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
当m＞0时，f（x）_max=-2m(-

1

2

)+m+n=4，f（x）_min=-m+n=-5
解得m=3，n=-2，
从而，g（x）=3sinx-4cosx=5sin（x+φ）（x∈R），
T=2π，最大值为5，最小值为-5；
当m＜0时，解得m=-3，n=1，
从而，g(x)=-3sinx+2cosx=

13

sin(x+φ)，T=2π，最大值为

13

，
最小值为-

13

．