Question

三棱锥S-ABC中，底面△ABC是顶角∠ABC=a ，AC=a的等腰三角形，∠SCA=，SC=b，侧面SAC与底面ABC所成二面角为q 0＜q ≤，D、E分别为SA和AC的中点．

　　(1)求证：无论q、a为何值，点S到截面BDE的距离为定值；

 

　　(2)求三棱锥S-ABC的体积

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结BD、BE，如图所示 　　∵　D、E为SA、AC中点 　　∴　SC∥DE，∴　SC∥平面BDE 　　∴　S到面BDE的距离即C到平面BDE的距离 　　∵　∠SCA=90°，∴　DE⊥AC 　　∵　AB=BC，∴　BE⊥AC 　　∴　AC⊥平面BDE 　　∴　C到面BDE距离即为CE=，与q、a 无关 　　∴　命题成立 　　(2)解：∵　D为SA的中点，E为AC的中点 　　∴　S△AED=S△SAC 　　∴　VS-ABC=VB-SAC=4VB-AED 　　而VB-AED=VA-BDE=·S△BDE·AE 　　由DE⊥AC，BE⊥AC，∠DEB为二面角S-AC-B平面角 　　∴　∠DEB=q 　　∴　S△BDE=BE·DEsinq 　　　　　　 = 　　　　　　 　　∴　VS-ABC

提示：

本题第一问的证明通过求出S到面BDE距离与q、a无关而证到．一个点到一个平面的距离可转化为其他点到这个平面的距离，除了本解法中转化为这个点所在的平面的平行线上的点到平面的距离外，还可以转化为过这个点和平面相垂直的直线上一些点到平面的距离，求体积时注意运用割补法，求三棱锥体积时要灵活选择底面，尽量使最终求体积的多面体的高、底面面积好求，尤其是高好求．