Question

已知等比数列{a_n}中，公比q∈（0，1），a2+a3=

3

2

，a1•a4=

1

2

，设bn=

1

2

nan，（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知可得

a1q(1+q)= 3 2 a1•a1q3= 1 2

结合0＜q＜1可求q，a₁，进而可求a_n
（II）由（I）可得bn=

1

2

nan=n•(

1

2

)n-1，利用错位相减可求和

解答：解：（I）∵a2+a3=

3

2

，a1•a4=

1

2

，
∴

a1q(1+q)= 3 2 a1•a1q3= 1 2

变形可得，

a12q2(1+q)2= 9 4 a12q3= 1 2

两式相除可得

(1+q)2

q

=

9

2

整理可得，2q²-5q+2=0
∵0＜q＜1
解方程可得，q=2（舍）或q=

1

2

∴a₁=2，an=2 •(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2
（II）∵bn=

1

2

nan=n•(

1

2

)n-1
S_n=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)+…+n•(

1

2

)n-1①

1

2

Sn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n②
①-②可得

1

2

Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2+…(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n
∴Sn=4-(n+

1

2

)•(

1

2

)n-1

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，错位相减求解数列的和，此方法 是数列求和的重点与难点，要 注意掌握