Question

（理科）若数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n，若b_n=

2

(2n-1)an

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，则使T_n＞

9

10

成立的最小正整数n的值为

5

．

Answer 1

分析：利用a_n=S_n-S_n-1，即可确定数列{a_n}的通项，从而可得{b_n}的通项，利用裂项法，即可求得结论．

解答：解：由题意，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1
∵a₁=S₁=3，符合上式，∴a_n=2n+1
∴b_n=

2

(2n-1)an

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

∵T_n＞

9

10

，∴1-

1

2n+1

＞

9

10

∵2n＞9，
∴使T_n＞

9

10

成立的最小正整数n的值为5
故答案为：5

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．