Question

7．已知抛物线y²=2px（p＞0）的准线恰好经过双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点F，直线y=x-8与此抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求此抛物线的方程；
（2）求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线的性质，确定抛物线y²=2px（p＞0）的准线，求出p，即可求此抛物线的方程；
（2）直线y=x-8与抛物线联立，利用韦达定理，证明x₁x₂+y₁y₂=0，即可证明OA⊥OB．

解答 （1）解：由题意F（-2，0），则-$\frac{p}{2}$=-2，
∴p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
直线y=x-8与抛物线联立，可得y²-8y-64=0，
∴y₁y₂=-64，
∴x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{64}$=64，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴OA⊥OB．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，正确运用韦达定理是关键．