Question

已知数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，且S_n=2n²-n，数列{b_n}是各项都为正数的等比数列，且b₁=1，b₁+b₂+b₃=13．
（1）求a₃及数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，试求满足T_n≤a₃₁的n的集合．

Answer 1

分析：（1）利用S_n=2n²-n，通过a₃=S₃-S₂，求a₃，设出公比利用b₁+b₂+b₃=13，求出公比即可求解数列{b_n}的通项公式；
（2）求出a₃₁的值，求出数列{b_n}的前n项和T_n，利用T_n≤a₃₁得到n的不等式，求出n的集合．

解答：解：（1）因为S_n=2n²-n，所以a₃=S₃-S₂=2×3²-3-（2×2²-2）=9…（2分）
依题意设等比数列{b_n}的公比为q （q＞0），由b₁=1，b₁+b₂+b₃=13得：1+q+q²=13，
即q²+q-12=0，解得q=3或q=-4，…（4分）
因为q＞0，所以q=3，所以b_n=3^n-1…（6分）
（2）a₃₁=S₃₁-S₃₀=2×31²-31-（2×30²-30）=121…（8分）
Tn=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

，…（10分）
由T_n≤a₃₁得：

3n-1

2

≤121，
所以3ⁿ≤243=3⁵，所以n≤5，…（12分）
又因为n∈N*，所以n=1，2，3，4，5；…（13分）
所以满足T_n≤a₃₁的n的集合为{1，2，3，4，5}．…（14分）

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列通项公式的求解，不等式的解法，考查转化思想，计算能力．