Question

如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面积是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，
AA₁=，N、M分别是线段B₁B、AC₁的中点．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距离
（III）求二面角A₁﹣AB₁﹣C₁的大小．

Answer 1

解：（I）证明：取AC中点F，连接MF，BF，
在三角形AC₁C中，MN∥C₁C且，
∴MF∥BN且MF=BN
∴四边形MNBF为平行四边形
∴BF∥MN
∵BF平面ABC
MN平面ABC不成立
∴MN∥平面ABC
（II）设A₁到平面AB₁C₁的距离为h，AA₁⊥平面A₁B₁C₁
∴
∴
∵，

∴
（III）三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，
又点D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜边A₁B₁的中点．则C₁D⊥A₁B₁
所以，C₁D⊥平面A₁B₁BA；
平面A₁B₁BA内，过D作DE⊥AB₁，垂足为E，连接C₁E，则C₁E⊥AB₁；
∴∠C₁ED是二面角，A₁﹣AB₁﹣C₁的平面角，
在Rt
所以，二面角，A₁﹣AB₁﹣C₁的大小为．